Derivadas de funciones reales.
En esta sección se estudia una nueva operación relacionada con el cálculo, la derivación o diferenciación de una función, proceso de determinar la derivada de una función.
Muchas situaciones de la vida diaria se modelan mediante el uso de razones de cambios (como cambia algo respecto de otro), por ejemplo, un cambio en la posición con respecto del tiempo es una velocidad, mientras que un cambio de la velocidad con respecto del tiempo es una aceleración. El estudio de la derivada de una función ayuda a comprender de una manera más simple como se dan estos cambios, y la importancia desde el punto de vista analítico o geométrico para la función.
El primer acercamiento en el estudio de las derivadas lo constituye la determinación de la recta tangente a una curva en un cierto punto, hecho este que fue estudiado desde la antigüedad por distintos matemáticos y que se muestra a continuación.
Rectas tangentes a una curva.
Para iniciar el estudio de la derivada de una función en variable real se inicia el apartado con un breve repaso de las ecuaciones de la recta y sus distintas formas según el valor de su pendiente, por considerarlas de gran ayuda al estudiante, donde el uso de la palabra “tangente” no está relacionado con la función trigonométrica del mismo nombre.
Formas de las ecuaciones de la recta.
\begin{array}{l l l} {\rm Forma}&{\rm Ecuación}& {\rm Pendiente}\\ {\rm Vertical}& x=h &{\rm Indefinida}\\ {\rm Horizontal}& y=k& m=0\\ {\rm Ordenada~ al~ origen}& y=mx+n & ∆y/∆x\\ {\rm Punto ~pendiente}& y=m\left(x-x_1\right)+y_1& ∆y/∆x\\ {\rm General} &ax+by+c=0 &m=-a/b\end{array} Del primer renglón de la tabla note que la pendiente de una recta vertical no está definida (una vez más recuerde que infinito no es número).
Como ya se vio al estudiar la circunferencia la recta tangente a una circunferencia es la “recta perpendicular al radio que toca la circunferencia en un solo punto”. Dicho punto es llamado punto de tangencia. Además, se estudió que para dicho punto la recta tangente \(y=mx+n\) tiene el mismo valor que la circunferencia \(x^2+y^2+ax+by+c=0,\) en el caso de una curva es un poco distinto el concepto de recta tangente.
La gráfica de una función \(f\) puede tener distinas rectas tangentes, lo que obliga al hablar de recta tangente a la curva en un punto y no de manera general como presenta la definición siguiente.
Recta tangente a una curva en un punto
Sea \(f(x)\) una función cuya gráfica contiene al punto \(x=c,\) se dice que la recta que pasa por el punto \(\left(c,f(c)\right)\) cuya pendiente m está dada por: $$m=\lim_{∆x\to0}{\frac{f(c+∆x)-f(x)}{∆x}}$$ es la recta tangente a \(f(x)\) en el punto \((c,f(c)\) si el límite existe.
Haciendo \(∆x=h\) se puede escribir de una manera más simple como, $$ m=\lim_{h\to0}{\frac{f\left(c+h\right)-f\left(c\right)}{h}}$$ además para los casos particulares en que $$\lim_{h\to0}{\frac{f\left(c+h\right)-f\left(c\right)}{h}}=∞\ \ \ \ {\rm o} \ \ \ \ \lim_{h\to0}{\frac{f\left(c+h\right)-f\left(c\right)}{h}}=-∞$$ la gráfica de \(f\) tiene una tangente vertical a en el punto \((c,\ f(c))\) siempre y cuando la recta \(x=c\) no sea una asíntota vertical.
Para una mayor compresión del tema ver los ejericios resueltos Ej1 al Ej5 de la pestaña Ejercicio I en la parte de arriba
Derivación de funciones reales.
Definición de derivada de una función.
\begin{align} \lim_{∆x\to0}\frac{f(x+∆x)-f(x)}{∆x}~~~{\rm o}~~~ \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\end{align} para \(h=∆x\), siempre que el límite exista.
Notación de derivada.
La derivada de una función se puede escribir en cualquiera de las maneras siguientes, escritas más abajo con su forma de lectura.
$$\begin{matrix}\ f^\prime\left(x\right)\\ {\rm efe\ prima\ de}\ x\\\end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix}y^\prime\\ {\rm ye\ prima\ de}\ x\\\end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix}\frac{dy}{dx}\\ {\rm de\ ye\ de}\ x\\\end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix}\begin{matrix}\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]\ &D_x\left[y\right]\\\end{matrix}\\ {\rm derivadas\ con\ repecto\ de} \ x\\\end{matrix}$$
Relación entre derivabilidad y continuidad.
Al procedimiento de determinar la derivada de una función se le llama diferenciación o simplemente derivación y la expresión encontrada es otra función cuyo dominio y rango son distintos a los de la función de procedencia. Recuerde que una función \(f\) es continua en un intervalo cerrado \([a,b]\) cuando es continua en el intervalo abierto \left(a,b\right) y además cumple,
\begin{array}
1.f\left(a\right)=\lim{x\to a^+}{f\left(x\right)}\ \ \ \ \ \ \ \&2.f\left(b\right)=\lim{x\to b^-}{f\left(x\right)}\end{array}
De manera equivalente se dice que una función es derivable en el intervalo cerrado \([a,\ b]\) cuando es derivable en intervalo abierto \((a,b)\) y además existen,
$$\lim_{x\to c^-}{\frac{f\left(x\right)-f\left(c\right)}{x-c}}\ \ \ \ {\rm y} \ \ \ \lim_{x\to c^+}{\frac{f\left(x\right)-f\left(c\right)}{x-c}}$$
Dichos límites son llamados derivadas por la izquierda y derivada por la derecha. Además, geométricamente la derivada representa la pendiente de la recta tangente en el punto \(x=c\) lo cual representa uno de los usos más relevantes para las derivadas, así para una función cualquiera \(f(x)\) la pendiente de la recta tangente en el punto \(x=c\) será \(f'(c)\).
En cuanto al cálculo de derivadas por definición se debe recordar que como la derivada es un límite, cumple con todas las propiedades de estos, como se verá al analizar los ejemplos resueltos de este apartado.
Para una mayor compresión ver los ejercicios Ej6 al Ej10 de la pestaña Ejercicio I de la parte de arriba. En la pestaña Ejercicio II se presentan ejercicios que un nivel de análisis o difiultad un poco más elevado para los cuales ayudan al desarrollo y refinamiento de conceptos y aptitudes.
Ejemplo 4. Una recta tangente. Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función \(y=x^2-3x+5\) en el punto \(x=2\).
Solución: la recta está dada por \(y=m\left(x-x_1\right)+y_1,\) donde \(m=y^\prime\left(2\right).\) Del ejemplo anterior se sabe que \(y^\prime\left(2\right)=1,\) además \(\left(x_1,\ y_1\right)=(x_1,\ f(x_1))=(2,\ 3)\) de donde la ecuación de la recta tangente en \(x=2\) es, \(y=1\left(x-2\right)+3\Longleftrightarrow y=x+1.\)
Reglas básicas de derivación.
En algunos casos, encontrar la derivada de una función mediante el uso de la definición resulta en una tarea ardua, la cual debe realizarse con cuidado, ya que el mínimo error cambiaría el resultado de la derivada. Para evitar incurrir en este arduo trabajo una vez se conocen las reglas de derivación, solo se usa la definición de derivadas para aquellos casos en los cuales se pide, o cuándo es necesaria para la realización de alguna demostración.
A continuación, se presentan las deducciones de las reglas básicas de derivación.
Derivada de una constante.
Derivar \(f(x)=c\) para \(c\in\mathbb{R}.\)
\begin{align}
&y^\prime=\lim_{h\to0}{\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}}\\
&y^\prime=\lim_{h\to0}{\frac{c-c}{h}}\\
&y^\prime=\lim_{h\to0}{\frac{0}{h}}=0
\end{align}
Derivada de una constante
\begin{align}\frac{d}{dx}\left(c\right)=0\ \ \ \ \forall\ \ c\ \in\ \mathbb{R}\end{align} Descripción verbal: la derivada de una constante es igual a cero.
Ejemplo 1. Uso de la regla de la constante. Algunas funciones constantes y sus derivadas. \begin{array}{l c} {\rm Función}& {\rm Derivada}\\ y=5 &y^\prime=\frac{d}{dx}\left(5\right)=0\\ y=13 & y^\prime=\frac{d}{dx}\left(13\right)=0\\ y=233& y^\prime=\frac{d}{dx}\left(233\right)=0 \end{array}
Derivada de una potencia.
Sea \(y=x^n\) donde \(n \in \ \mathbb{Z}^+\) entonces la derivada de la función es,
\begin{align}
&y^\prime=\lim_{h\to0}{\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}}\\
&y^\prime=\lim_{h\to0}{\frac{\left(x+h\right)^n-x^n}{h}}\end{align}
Del teorema del binomio se tiene el desarrollo de \(\left(x+h\right)^n\) como sigue:
\begin{align}
\left(x+h\right)^n&=\frac{x^n}{0!}+\frac{nx^{n-1}}{1!}h+\frac{n\left(n-1\right)x^{n-2}}{2!}h^2\\
&+\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)x^{n-3}}{3!}h^3+\ldots+\frac{n!}{n!}h^n\end{align}
Note que tanto para el primer y último términos los coeficientes son uno, esto es porque \(0!=1;\ \ 1!=1\) y \(\frac{n!}{n!}=1,\) (no se agobie por entender porque \(0!=1\) en cursos superiores de Cálculo al estudiar la función Gamma podrá comprobarlo por si mismo). Además, con excepción del primer término, existe un factor \(h\) para cada uno de los términos del binomio, por lo cual, se puede usar la factorización y escribir el límite como sigue:
\begin{align}
&\lim_{h\to0}{\frac{x^n+h\left(nx^{n-1}+\frac{n\left(n-1\right)x^{n-2}}{2!}h+\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)x^{n-3}}{3!}h^2+\ldots+h^{n-1}\right)-x^n}{h}}\\
&y^\prime=\lim_{h\to0}{\frac{h\left(nx^{n-1}+\frac{n\left(n-1\right)x^{n-2}}{2!}h+\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)x^{n-3}}{3!}h^2+\ldots+h^{n-1}\right)}{h}}\\
&y^\prime=\lim_{h\to0}{\left(nx^{n-1}+\frac{n\left(n-1\right)x^{n-2}}{2!}h+\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)x^{n-3}}{3!}h^2+\ldots+h^{n-1}\right)}\\
&y^\prime=\lim_{h\to0}{x^{n-1}}=nx^{n-1}\end{align}
Recuerde este resultado para cualquier valor \(n\in\ \mathbb{Z}^+.\)
Derivada de la potencia.
$$\frac{d}{dx}\left(x^n\right)=nx^{n-1}\ \ \ \ \forall\ \ \ n\ \in\ \mathbb{Z}^+$$
Descripción verbal de la regla de la potencia: la derivada con respecto de \(x,\) de \(x^n\) es \(n\) por \(x^{n-1}.\)
Nota importante: aunque la demostración se ha hecho para \(n\ \in\ \mathbb{Z}^+\) en realidad la regla se cumple para cualquier \(n\in\mathbb{R},\) las demostraciones se veran más adelante a medida que se profundiza en técnicas de derivación.
Además, a menudo es necesario reescribir una expresión antes de aplicar la regla de la potencia, esto es debido a que los radicales y exponentes negativo deben ser acomodados (reescritos) antes de aplicar la regla como se ilustra en el ejemplo siguiente.
Ejemplo 2. Usos de la regla de la potencia. La tabla siguiente muestra como usar la regla de la potencia para derivar funciones donde \(n\in\mathbb{R}.\) \begin{array}{l l l l} {\rm Función}& {\rm Reescribir}& {\rm Derivar} &{\rm Simplificar}\\ y=x& & y^\prime=x^{1-1} & y^\prime=x^0=1\\ y=\sqrt[3]{x^2} &y=x^\frac{2}{3}& y^\prime=\frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1}&y^\prime=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}\\ y=x^5& & y^\prime=5x^{5-1}& y^\prime=5x^4\\ y=\frac{1}{x^5}& y=x^{-5}& y^\prime=-5x^{-5-1}& y^\prime=-\frac{5}{x^6}\end{array}
Regla del múltiplo constante.
Sea \(c\in\mathbb{R}\) y sea \(f\left(x\right)\) una función derivable de \(x\) (la derivada existe). Derivar \( cf\left(x\right).\)
\begin{align}
&\frac{d}{dx}\left[cf\left(x\right)\right]=\lim_{h\to0}{\frac{cf\left(x+h\right)-cf\left(x\right)}{h}}\\
&\frac{d}{dx}\left[cf\left(x\right)\right]=\lim_{h\to0}{\left(c\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}\right)}\\
&\frac{d}{dx}\left[cf\left(x\right)\right]=cf^\prime\left(x\right)\end{align}
Regla del múltiplo constante.
$$\frac{d}{dx}\left[cf\left(x\right)\right]=cf^\prime\left(x\right)\ \ \ \forall\ \ \ c\ \in\ \mathbb{R}$$ Descripción verbal de la regla del múltiplo constante: la derivada del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función.
Ejemplo 3. Uso de la regla del múltiplo constante. Obtener las derivadas de las siguientes funciones. \begin{array}{l l l l} {\rm Función}& {\rm Reescribir}& {\rm Derivar } & {\rm Simplificar}\\ y=3x& y=3x& y^\prime=3x^{1-1}& y^\prime=3x^0=3\left(1\right)=3\\ y=4x^5 & y=4x^5 & y^\prime=4\left(5x^{5-1}\right)& y^\prime=20x^4\\ y=6\sqrt[3]{x^2} & y=6x^\frac{2}{3} & y^\prime=6\left(\frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1}\right)& y^\prime=4x^{-\frac{1}{3}}=\frac{4}{x^\frac{1}{3}}=\frac{4}{\sqrt[3]{x}}\\ y=\frac{10}{x^5}& y=10x^{-5} & y^\prime=10\left(-5x^{-5-1}\right) & y^\prime=-50x^{-6}=-\frac{50}{x^6}\end{array}
Regla de adición o sustracción.
Sean \(f(x)\) y \({\rm g}(x)\) dos funciones derivables cualquiera, entonces la derivada de la suma o diferencia de las funciones está dada por, $$\frac{d}{dx}\left[f(x)\pm {\rm g}(x)\right]=f^\prime\left(x\right)\pm {\rm g}^\prime(x)$$ Demostración: como la derivada es un límite, cumple las propiedades de estos, entre ellas la propiedad de linealidad de donde, \begin{align} &\frac{d}{dx}\left[f(x)\pm {\rm g}(x)\right]=\lim_{h\to0}{\frac{f(x+h)+{\rm g}(x+h)-(f(x)+{\rm g}(x))}{h}}\\ &\frac{d}{dx}\left[f(x)\pm{\rm g}(x)\right]= \lim_{h\to0}{\frac{f(x+h)-f(x)+{\rm g}\left(x+h\right)-{\rm g}\left(x\right)}{h}}\\ &\frac{d}{dx}\left[f(x)\pm {\rm g}(x)\right]= \lim_{h\to0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}+\lim_{hto0}{\frac{{\rm g}(x+h)-{\rm g}(x)}{h}}\\ &\frac{d}{dx}\left[f(x)\pm{\rm g}(x)\right]=\frac{d}{dx}\left[f(x)\right]\pm\frac{d}{dx}\left[{\rm g}\left(x\right)\right]\end{align} De donde se concluye que,
Derivada de una suma o resta.
$$\frac{d}{dx}\left[f(x)\pm {\rm g}(x)\right]=f^\prime(x)\pm {\rm g}^\prime(x)$$ Descripción verbal de la regla de suma o diferencia: la derivada de una suma o diferencia es igual a la suma o diferencia de las derivadas.
Ejemplo 4. Determinar las derivadas de las funciones dadas.
\begin{array}{l l l}
1.~ y=x^2+1& 2.~ f(x)=x^3+2x^2+5& 3.~ y=-4x^2+15x-27\end{array}
Soluciones: aplicando las propiedades de derivación que se han estudiado hasta ahora, se tiene,
\begin{align}
&1.\ \ \ y^\prime=\frac{d}{dx}\left(x^2+1\right)=\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(1\right)=2x+0=2x\\
&2.\ \ \ y^\prime=\frac{d}{dx}\left(x^3+2x^2+5\right)=\frac{d}{dx}\left(x^3\right)+\frac{d}{dx}\left(2x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(5\right)=3x^2+4x\\
&3.\ \ \ y^\prime=\frac{d}{dx}\left(-4x^2+15x-27\right)=\frac{d}{dx}\left(-4x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(15x\right)+\frac{d}{dx}\left(27\right)=-8x+15\end{align}
Ejemplo 5. Dada \(S\left(t\right)=3t^3+11t^2+5t+13\) determinar \(S^\prime\left(t\right).\)
Solución: \(S^\prime\left(t\right)=3(3t^2)+11(2t)+5=9t^2+22t+5\)
Note la simplicidad de las reglas de derivación con respecto de la definición de derivada, a partir de este punto siempre que se deba determinar la derivada de una función esta será la manera en que se realizará el ejercicio a menos que se pida o necesite realizar una demostración. Además, se hace énfasis en que no se ha dado ninguna regla de derivación para un radical, así que todos los radicales deben ser escrito como una potencia para luego ser derivados usando esta regla.
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Derivada de un producto.
Sean \(f(x)\) y \({\rm g}(x)\) dos funciones derivables, entonces la derivada del producto \(f(x){\rm g}(x)\) escrita como $$\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right){\rm g}\left(x\right)\right]$$ está dada por la expresión, $$\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right){\rm g}\left(x\right)\right]=f\left(x\right){\rm g}^\prime\left(x\right)+{\rm g}\left(x\right)f^\prime\left(x\right)$$ Demostración: $$\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right){\rm g}\left(x\right)\right]=L=\lim_{h\to0}{\frac{f\left(x+h\right){\rm g}\left(x+h\right)-f\left(x\right){\rm g}\left(x\right)}{h}}$$ Para determinar el límite \(L\) use el artificio de sumar un cero (sumar y restar la misma cantidad) \begin{align} &L=\lim_{h\to0}{\frac{f\left(x+h\right){\rm g}\left(x+h\right)+ \textcolor{#ff0080}{f\left(x+h\right){\rm g}\left(x\right)}-\textcolor{navy}{f\left(x+h\right){\rm g}\left(x\right)}-f\left(x\right){\rm g}\left(x\right)}{h}}\\ &L=\lim_{h\to0}{\frac{f\left(x+h\right)\left[{\rm g}\left(x+h\right)-\textcolor{navy}{{\rm g}\left(x\right)}\right]+{\rm g}\left(x\right)\left[\textcolor{#ff0080}{f\left(x+h\right)}-f\left(x\right)\right]}{h}}\\ &L=\lim_{h\to0}{\frac{f\left(x+h\right)\left[{\rm g}\left(x+h\right)-{\rm g}\left(x\right)\right]}{h}}+\lim_{h\to0}{\frac{{\rm g}\left(x\right)\left[f\left(x+h\right)-f\left(x\right)\right]}{h}}\\ &\lim_{h\to0}{f\left(x+h\right)}\lim_{h\to0}{\frac{\left[{\rm g}\left(x+h\right)-{\rm g}\left(x\right)\right]}{h}}+\lim_{h\to0}{{\rm g}\left(x\right)}\lim_{h\to0}{\frac{\left[f\left(x+h\right)-f\left(x\right)\right]}{h}}\\ &\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right){\rm g}\left(x\right)\right]=f\left(x\right){\rm g}^\prime\left(x\right)+{\rm g}\left(x\right)f^\prime\left(x\right)\end{align} Igual resultado hubiera obtenido si en vez de sumar el cero $$f\left(x+h\right){\rm g}\left(x\right)-f\left(x+h\right){\rm g}\left(x\right)$$ se hubiera usado $${\rm g}\left(x+h\right)f\left(x\right)-{\rm g}\left(x+h\right)f\left(x\right),$$ de donde debe recordar que:
Derivada del producto \({uv}\)
$$\frac{d}{dx}\left[uv\right]=v\frac{d}{dx}\left(u\right)+u\frac{d}{dx}\left(v\right)$$ Para \(u\) y \(v\) funciones derivables de \(x.\)
Descripción verbal: la derivada del producto de dos funciones es igual a la segunda función por la derivada de la primera, más la primera función por la derivada de la segunda.
Otra manera de realizar la demostración de la derivada de un producto es mediante el uso de la geometría (lo cual es muy útil en curso superiores de Cálculo) puede hacerse como sigue:
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Derivada de un cociente.
Sean \(u(x)\) y \(v(x)\) dos funciones derivables de \(x\) entonces, la derivada del cociente \(u(x)/v(x)\) escrita como, $$\frac{d}{dx}\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)~~~~{\rm donde}~~v\left(x\right)\neq0$$ está dada por la expresión,
Derivada de un cociente
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^2}$$Demostración: aplicando la definición de derivada se tiene, \begin{align} &\frac{d}{dx}\left[\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}\right]=\lim_{h\to0}{\frac{\frac{u\left(x+h\right)}{v\left(x+h\right)}-\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}}{h}}\\ &\frac{d}{dx}\left[\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}\right]=\lim_{h\to0}{\frac{u\left(x+h\right)v\left(x\right)-u\left(x\right)v\left(x+h\right)}{h\cdot v\left(x+h\right)v\left(x\right)}}\end{align} Para determinar el límite se usa el artificio de sumar un cero. \begin{align} &\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\lim_{h\to0}{\frac{u\left(x+h\right)v\left(x\right)-u\left(x\right)v\left(x\right)-u\left(x\right)v\left(x+h\right)+u\left(x\right)v\left(x\right)}{h\cdot v\left(x+h\right)v\left(x\right)}}\\ &\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\lim_{h\to0}{\frac{v\left(x\right)\left[u\left(x+h\right)-u\left(x\right)\right]-u\left(x\right)\left[v\left(x+h\right)-v\left(x\right)\right]}{h\cdot v\left(x+h\right)v\left(x\right)}}\\ &\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\lim_{h\to0}{\frac{u\left(x+h\right)-u\left(x\right)}{hv\left(x+h\right)}}-\lim_{h\to0}{\frac{u\left(x\right)\left[v\left(x+h\right)-v\left(x\right)\right]}{hv\left(x+h\right)v\left(x\right)}}\\ &\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\lim_{h\to0}{\left(\frac{1}{v\left(x+h\right)}\frac{u\left(x+h\right)-u\left(x\right)}{h}-\frac{u\left(x\right)}{v\left(x+h\right)v\left(x\right)}\frac{v\left(x+h\right)-v\left(x\right)}{h}\right)}\\ &\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{1}{v\left(x\right)}u^\prime\left(x\right)-\frac{u\left(x\right)}{\left[v\left(x\right)\right]^2}v\prime(x)\\ &\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\left(x\right)u^\prime\left(x\right)-u\left(x\right)v^\prime\left(x\right)}{\left[v\left(x\right)\right]^2} \end{align} que es lo que se quería demostrar.
Descripción verbal de la regla del cociente: la derivada de un cociente es igual, a el denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador y todo esto sobre el cuadrado del denominador.
No se debe sentir angustia por la descripción verbal, pero se debe recordar la fórmula. Además, comparando la expresión con la derivada del producto \(uv\) en la sección anterior, las únicas diferencias son el signo de menos y el denominador de la expresión.
Ejemplo. Determinar \(f'\left(x\right)\) para $$f\left(x\right)=\frac{x+4}{x+1}$$ Solución: de la regla del cociente, \begin{align} &\frac{d}{dx}\left(\frac{u}v\right)=\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^2}\ \ {\rm de~ donde}\\ &f'(x)=\frac{\left(x+1\right)\frac{d}{dx}\left(x+4\right)-\left(x+4\right)\frac{d}{dx}\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)^2}\\ &f'(x)=\frac{x+1-x-4}{\left(x+1\right)^2}\\ &f'(x)=-\frac{3}{\left(x+1\right)^2}\end{align} Ejemplo. Determinar la derivada de la función $$y=\frac{5x^3+4}{2x^2-3}$$ Solución: aplcando la regla del cociente, \begin{align} &\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{d}{dx}(u)-u\frac{d}{dx}(v)}{v^2}\\ &y\prime=\frac{(2x^2-3)\frac{d}{dx}(5x^3+4)-(5x^3+4)\frac{d}{dx}(2x^2-3)}{{(2x^2-3)}^2}\\ &y\prime=\frac{(2x^2-3)(15x^2)-(5x^3+4)(4x)}{{(2x^2-3)}^2}\\ &y\prime=\frac{30x^4-20x^3-45x^2-16x}{{(2x^2-3)}^2}\end{align} Ejemplo. Cuidado! Un intrudo en el tema. Derivar $$y=\frac{x^2-4}{x-2}$$ Solución: se puede estar tentado a usar la regla del cociente debido a la expresión racional, sin embargo, reescribiendo la expresión como, \begin{align} &y=\frac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{x-2}=x+2\\ &y\prime=1\end{align} Note lo laborioso que hubiera sido derivar aplicando la regla del cociente está función en comparación con la manera en que se obtuvo, así que si es posible siempre se debe simplificar primero.
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Recta Tangente en un punto. Determinar la recta tangente a la gráfica de \(f(x)=2/x\) en el punto \((1,2)\).
Una recta tangente vertical. Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto dado. $$f\left(x\right)=\frac{5x-5}{3x-3}\ \ \ \ {\rm en}\ \ \ \ x=1$$
Recta tangente. Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $$f\left(x\right)=\frac{3x^2-5}{x-3}$$ para los puntos \(x=0\) y \(x=3\)
Una recta tangente horizontal. Determinar la recta tangente a la gráfica de la función \(f\left(x\right)=\sin{x}\) el punto \((\pi/2,1)\)
Una recta tangente. Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $$f\left(x\right)=\ x+\frac{5}{x+2}\ {\rm en}\ \ P\left(3,4\right)$$